On dit volontiers d’un élève qu’il « a de l’intuition » ou qu’il « n’en a pas », comme s’il s’agissait d’un don reçu à la naissance, présent ou absent, et à peu près immuable. Cette représentation, répandue, est aussi décourageante qu’inexacte. Car l’intuition mathématique, loin d’être un talent mystérieux, se construit. Comprendre comment elle se forme, c’est la remettre à la portée de tout apprenant — et libérer l’élève de l’idée qu’elle lui serait, par nature, refusée.
Une intuition première, biologiquement enracinée
Il existe bien une intuition mathématique originelle, antérieure à tout enseignement. Stanislas Dehaene en a fait l’objet central de ses recherches : le très jeune enfant, comme certains animaux, possède un sens du nombre, une appréciation approximative des quantités, une représentation des grandeurs sur une ligne mentale. Voilà le germe biologique de l’intuition mathématique. Mais ce n’est qu’un germe : il fournit une perception floue et approchée, que seule l’éducation transforme en mathématiques exactes et symboliques. L’intuition première est un point de départ, non un aboutissement.
Une intuition seconde, fille de l’expérience
Au-delà de ce sens primitif se développe une intuition d’une tout autre nature : celle de l’expert, qui « voit » la solution avant de l’avoir démontrée. Celle-ci ne se reçoit pas ; elle se forge. Gérard Vergnaud en donne la clé avec ses théorèmes-en-acte : une connaissance intuitive et opératoire précède bien souvent sa formulation explicite. L’intuition n’est alors que du savoir implicite, sédimenté par l’expérience répétée des situations. Henri Poincaré ne disait pas autre chose lorsqu’il décrivait l’intuition comme ce qui guide la découverte avant que la logique ne vienne la vérifier : une saisie rapide, née d’une longue familiarité avec les objets. L’intuition mathématique est, en ce sens, de la pratique condensée en regard immédiat.
Le rôle du travail souterrain
Jacques Hadamard, dans son essai sur la psychologie de l’invention mathématique, et Poincaré lui-même ont décrit les étapes par lesquelles surgit l’éclair intuitif : une phase de préparation, où l’on travaille consciemment et sans succès ; une phase d’incubation, où l’esprit semble se reposer ; une phase d’illumination, où la solution apparaît soudain ; une phase de vérification, enfin. L’intuition « subite » n’est donc pas un cadeau du hasard : elle est la remontée à la conscience d’un travail souterrain que l’effort préalable a rendu possible. On ne reçoit pas l’intuition ; on la mérite par le labeur qui la précède.
Intuition et rigueur, deux faces complémentaires
Poincaré a célèbrement opposé, pour mieux les réconcilier, les « intuitifs » et les « logiciens ». L’intuition invente, la logique vérifie ; l’une découvre les chemins, l’autre s’assure qu’ils sont sûrs. Les deux sont nécessaires. Un enseignement qui ne cultiverait que la rigueur formelle assècherait l’intuition ; un enseignement qui ne nourrirait que l’intuition manquerait de preuve. C’est le va-et-vient entre les deux qui construit, ensemble, la fécondité et la solidité de la pensée mathématique.
Cultiver l’intuition chez l’élève
De là découlent des pistes concrètes. Multiplier les expériences nombreuses et variées, d’où l’intuition finit par se dégager (Vergnaud). Encourager l’imagerie mentale et la visualisation. Travailler l’estimation et les ordres de grandeur, qui exercent le sens du nombre (Dehaene). Laisser explorer avant de formaliser. Tolérer, enfin, le temps d’incubation que requiert l’illumination. L’intuition ne naît pas d’un don, mais de la quantité et de la diversité des contacts avec la matière mathématique.
L’élève qui « n’a pas d’intuition » n’a, le plus souvent, pas encore accumulé l’expérience d’où celle-ci cristallise. Elle se cultive, elle ne s’hérite pas. Le reconnaître, c’est rendre à chaque élève une perspective que le mythe du don lui dérobait : celle de pouvoir, à force de fréquentation patiente, développer ce regard immédiat sur les choses mathématiques que l’on croyait réservé à quelques-uns.