L’abstraction mathématique : obstacle ou levier d’apprentissage ?

S’il est une raison pour laquelle les mathématiques inspirent tant de défiance, c’est sans doute leur abstraction. Là où d’autres disciplines s’appuient sur le visible, le tangible, le narrable, les mathématiques s’élèvent dans un univers de symboles, de relations et de généralités qui paraît détaché du réel. Pour bien des élèves, l’abstraction est l’obstacle par excellence — le moment où, disent-ils, « ça décroche ». Pourtant, cette même abstraction est la source de toute la puissance des mathématiques. Faut-il alors la tenir pour un obstacle ou pour un levier ? La réponse, on va le voir, dépend moins de l’abstraction elle-même que de la manière dont on la construit.

La puissance et le prix de l’abstraction

Abstraire, en mathématiques, c’est dégager d’une multitude de cas particuliers une structure commune que l’on peut traiter d’un seul geste. Une formule condense une infinité de situations ; un théorème vaut pour tous les objets qui satisfont ses hypothèses. Là réside l’incomparable économie de la pensée mathématique : un énoncé général dispense d’examiner les cas un à un. Mais cette puissance a son prix. En s’élevant au-dessus du concret, l’abstraction risque de perdre en chemin l’élève qui n’a pas effectué, pour son propre compte, le mouvement qui y conduit.

L’abstraction ne s’oppose pas au concret : elle en naît

La grande leçon de Jean Piaget est ici décisive. Il distingue l’abstraction empirique, qui tire ses informations des propriétés des objets, de l’abstraction réfléchissante, qui les tire de la coordination des actions du sujet lui-même. L’abstraction mathématique est de ce second type : elle ne se lit pas sur les choses, elle se construit en réfléchissant sur ce que l’on fait avec elles. L’enfant qui découvre que compter des billes de gauche à droite ou de droite à gauche donne le même nombre n’abstrait pas une propriété des billes, mais une propriété de son propre acte de dénombrer. L’abstraction n’est donc pas le contraire de l’expérience concrète ; elle en est le fruit. Gérard Vergnaud le confirme à sa manière : les concepts ne tombent pas du ciel des idées, ils s’élaborent à partir des situations dans lesquelles l’élève agit.

Quand l’abstraction devient un obstacle

L’abstraction se retourne en obstacle dès qu’on la coupe de cette genèse. Introduite trop tôt, présentée comme un formalisme à manipuler sans en éprouver le sens, elle se réduit à un jeu de symboles vides. Stella Baruk a dénoncé avec force ce formalisme prématuré : l’élève qui « calcule » sans comprendre ce qu’il calcule applique des règles sur des signes auxquels il n’attache aucune signification. L’abstraction divorcée de son origine n’est plus un instrument de pensée ; elle est, à nouveau, une connaissance inerte. L’obstacle n’est donc pas l’abstraction en soi, mais l’abstraction sans racines.

Le défi des registres de représentation

Une autre source de difficulté, plus subtile, a été mise en lumière par Raymond Duval. Les objets mathématiques n’étant pas directement accessibles, on ne les atteint qu’à travers des registres de représentation : la langue naturelle, l’écriture symbolique, les figures, les graphiques. Comprendre une notion, c’est savoir la reconnaître dans plusieurs registres et passer de l’un à l’autre — opération que Duval nomme conversion, et qui constitue précisément l’un des points où les élèves achoppent le plus souvent. Beaucoup de blocages devant l’abstraction sont en réalité des difficultés à coordonner ces registres : l’élève sait lire une expression algébrique, mais ne sait pas la « voir » sur un graphique, ni l’énoncer en mots.

Faire de l’abstraction un levier

De ces analyses se dégage une voie. L’abstraction devient un levier lorsqu’elle est construite progressivement, à partir de l’action et de la situation (Piaget, Vergnaud) ; lorsqu’elle demeure reliée au sens, sans jamais se figer en formalisme creux (Baruk) ; lorsqu’on cultive la circulation entre les registres qui la rendent maniable (Duval) ; lorsqu’elle s’enracine, pour le nombre, dans l’intuition de la grandeur que Stanislas Dehaene situe au principe de la cognition mathématique. À ces conditions, l’abstraction tient sa promesse : elle devient l’instrument qui permet à une seule idée de commander une infinité de cas.

Obstacle ou levier, donc ? Ni l’un ni l’autre dans l’absolu. L’abstraction est ce que l’enseignement en fait. Mal amenée, elle décourage ; bien construite, elle libère. Et l’élève qui « décroche » au moment de l’abstraction ne se heurte pas à une limite de son esprit : il lui manque seulement le chemin qui mène du geste concret à l’idée générale — un chemin que nul ne franchit sans l’avoir parcouru pour lui-même.